数量化理论（Theory of quantification）始于20世纪50年代。起初，它的作用仅限于“计量社会学”方面。随着计算机的广泛应用，60年代以后，它在自然科学领域中的应用日益增多。

一、数量化理论及其在地下水管理中的应用

“数量化”是指把定性的东西用数量来表达。定性数据只是一种状态的描述。它并不具有算术运算性质。数量化理论方法，实际上就是定性数据的分析方法，它是多元分析的一个分支。

在我们所研究的问题中，常可根据变量的性质对其分类：一些变量可以被视为变化的原因，称之为说明变量（explanatory variable）或自变量；另一种变量被视为变化的结果，称之为基准变量（criterion variable）或因变量。另一方面，根据其变化情况，又可以分两种情形：一种就是我们通常所说的变量，例如长度、重量、体积等，称之为定量变量；另一种变量并非真有数量上的变化，而只有性质上的差异，例如天气（阴、晴）、岩性（粘土、砂）及水文地质条件（好、差）等，称之为定性变量。

在水文地质实际工作中，定性变量的作用是不可忽视的。我们知道，水文地质学是一门实践性很强的科学，在很多情况下，实践经验是非常重要的。例如，在水文地质概化、参数选取时，在具备各种资料的基础上，还要求有丰富的经验。这也就是为什么在建立水文地质预报、管理模型时，单凭数理基础好是不够的。实际上，这种“经验”就是一种定性的东西，很难用数字来表达。

利用数量化理论可使专家的经验通过一些定性变量的描述变为可以“计算”的，并用到预报、管理决策中去。这对水文地质专家系统的建立是很有意义的。

实际上，定量变量与定性变量之间是可以相互转化的。如果我们将数轴划分为互不相交的若干个区间，当一些定量变量取值于同一区间时，认为是同一等级，这样便将这些定量变量转化为定性变量，相应的数据也转化为定性数据。反之，对于定性变量及其数据，设法按照某一合理的原则，实现向定量方面的转化，并以得到的定量数据为基础进行分类、预测等研究也是可行的，这也正是数量化理论的内容和目的。数量化理论使我们不仅可以利用定量变量，而且可以利用定性变量来研究问题，从而使我们可以更充分地利用信息，更全面地研究并发现事物间的联系和规律性，因而其应用是十分广泛的。但是，数量化理论属于正在发展着的理论，还有不少问题值得研究。例如，项目如何选取、类目如何划分、定量数据转化为定性数据时对结果有何影响等，尤其是将这一理论应用到地下水预测、管理中来，则更是刚刚起步。

数量化理论，按其所研究问题的目的不同，可以分为4种类型，分别称为数量化理论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ。其中，理论Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ研究的主要目的是对定量和定性问题进行变量或样品的分类，在此不做叙述。我们主要介绍用来进行预测和发现关系的模型Ⅰ。

二、数量化理论Ⅰ

在数量化理论中，常把定性变量叫做项目（item），把定性变量的各种不同的取“值”叫做类目（category）。对于某个预测问题（称为基准变量y），其影响因素变量（定性的）可以称为项目：如x₁，x₂，…，x_n；每个定性变量都有几种可能性，那么定性变量所有可能性的范围就是该变量对应的类目。例如，对于预测地下水污染程度（基准变量）而言，污染源形状，包气带岩性、分布等均可视为项目。而每个项目又包括若干个类目，如地下水污染源形状这个项目，它可以有点状污染源、线状污染源和面状污染源三个类目；包气带岩性项目，可以有粘土、粉砂、粗砂、砾石等类目（Zhao Yongsheng，1992）。假定我们观测了n个样品。设第j个项目有r_j个类目，则可列出项目、类目反应表（表15-3）。

表中：y是基准变量，δ_i（j，k）（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m；k=1，2，…，r_j）称为j项目第k类目在i样品中的反应：

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如果设x₁为污染源形状，则有三个类目，C₁₁，C₁₂，C₁₃；分别为点状、线状和面状污染源。如果在给定的一次实例（一个样品）中，则x₁只能是C₁₁，C₁₂和C₁₃这三种情形中的一个，取对应的类目为1，其他两个均为零。如果是线状污染源，则项目x₁属于类目C₁₂，令C₁₂=1，C₁₁和C₁₃均为零，这就是式（15-15）所表达的内容。

表15-3 项目类目表

根据δ_i（j，k）的性质有：

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由所有的δ_i（j，k）构成了反应矩阵X，X为n×p阶矩阵。

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（一）数量化理论Ⅰ的数学模型及其求解

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或

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这里，b_jk是仅依赖于j项目第k类目的常系数，ε_i是第i次抽样中的随机误差，为基准变量向量，X为反应矩阵，为系数向量，为误差向量，其他符号意义同前。

根据已知样品与基准变量，我们可以求得模型中的未知系数b_jk。利用最小二乘法，即为寻求b_jk，使得：

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达到最小。为此，求q关于b_uv的偏导数，并令其等于零，得：

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因为这是极小值点的必要条件，故b_jk达到最小值时满足：

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式（15-20）的矩阵形式为：

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式中：y=（y₁，y₂，…，y_n）^T；

我们称式（15-20）或式（15-21）为正规方程组。可以证明：①正规方程组的系数矩阵是对称的；②由于反应矩阵X是定性变量的赋值矩阵，所以正规方程（15-21）的系数矩阵X′X是不满秩的，其秩R（X′X）最多是r_j-m+1。因此，方程的解是无穷多的。

假定X′X的秩是r_j-m+1（在实际问题中，当n足够大时可以保证），这时我们可以删去第j项目（j=2，…，m）第一类目的方程，并取=0。这样删除后的矩阵为满秩矩阵，故可惟一地解出其余的。在数学上可以证明，这样得到的解并不失一般性，它能使式（15-19）中的q达到最小。的表达式为：

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（二）预测精度分析

（1）复相关系数r：

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式中：分别为预测值和实测值；为实测平均值。r值越接近1，说明预测精度越高。

（2）剩余均方：

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式中：n为样品数；m为影响变量数。剩余均方值越小，说明精度越高。

（三）既有定性变量又有定量变量时的模型

当所考虑的问题既有定性变量又有定量变量时，固然我们可以使用将定量变量分为若干等级的办法转化为定性变量，再用数量化理论I的方法来处理。但是，这样转化有时是不适当的，因为定量变量向定性变量的转化实际上是损失了数据中的信息。

设某一问题有m个项目，有h个定量变量，它们在第i个样品中的数据为x_i（u）（u=1，2，…，h；i=1，2，…，n）。利用上述推导数量化理论模型I的方法，完全可以得到既有定量变量又有定性变量的类似结果。

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