家用燃煤锅炉暖气的工作原理涉及多个步骤。首先，锅炉内的煤炭在燃烧过程中释放出热能。这一步骤中，煤炭的化学能转化为热能，使得锅炉中的水温升高。为了保证煤炭充分燃烧，锅炉通常配备有送风系统，确保有足够的氧气供应。

接下来，加热后的水通过管道系统循环至室内的散热器。散热器通常安装在墙壁上，当热水流经散热器时，热能被传递到室内空气中，从而提高室内温度。散热器的设计旨在有效散发热量，同时避免直接加热室内环境，提升供暖的舒适度。

为了确保供暖系统的稳定和安全运行，还需要一个控制系统。该系统可以监测锅炉的水温、水位和燃烧状态等关键参数，并根据实际情况调整送风量和水泵转速等，以维持系统的最佳工作状态。此外，控制系统还能根据室内温度的变化自动调节散热器的散热量，以实现节能和舒适的供暖效果。

总结来说，家用燃煤锅炉暖气的工作原理是通过煤炭的燃烧产生热能，将热能传递给水，再通过水循环将热能输送到室内散热器，最终达到室内供暖的目的。这一过程需要燃烧、热传递、循环以及控制等多个环节的协同工作，确保系统稳定、安全地运行。