在延吉，如果电工证不慎遗失，补办流程如下：

首先，需要前往当地安监局进行申请。如果是本地安监局核发的电工证，可以直接在当地安监局办理补办手续。对于外地安监局核发的电工证，则需要回到原发证机关所在地进行补办。

补办过程中，需要准备以下材料：

1. 完成补办申请表的填写。

2. 提供身份证原件及复印件一份。

3. 在当地区级以上报纸上刊登遗失声明，如《XX日报》、《XX晚报》等。

4. 提交两张小一寸白底彩色照片，其中一张需粘贴在申请表上。

完成这些步骤后，安监局将对您的申请进行审核，并在审核通过后发放新的电工证。请确保在补办过程中提供的所有信息准确无误，以免影响补办进度。

在整个过程中，务必注意确保个人信息安全，避免信息泄露。同时，补办过程中可能会遇到一些问题，如信息不全、材料不符等，因此建议提前做好充分准备，避免补办过程中出现不必要的麻烦。

对于补办过程中可能出现的各类问题，建议及时与当地安监局沟通，以便尽快解决问题，顺利完成补办流程。