中国公民与外国人自愿结婚，在中国境内申请登记的具体流程如下：

首先，男女双方需共同前往中国公民一方户口所在地的省、自治区、直辖市人民政府指定的婚姻登记机关申请登记。这要求双方必须亲自到场，并提供各自的身份证件。

其次，申请时必须遵守中华人民共和国民法典和相关规定的条款。这些规定旨在确保婚姻的合法性和双方权益的保护。

在提交申请后，登记机关会进行审核，包括但不限于身份证明、婚姻状况等信息。审核通过后，双方将获得结婚证书，正式成为合法夫妻。

值得注意的是，此过程可能涉及一些特殊情况的处理，例如外籍人士的签证问题、未婚子女的抚养权等。因此，建议在申请前咨询专业人士，确保所有手续完备无误。

总体而言，中国公民与外国人结婚的登记流程相对明确，主要涉及双方共同到场、遵守法律规定和完成必要的审核步骤。通过这一过程，可以实现双方的婚姻合法化，享受中国法律赋予的相应权利和义务。