答：是的，当地政府会支持办一个小型养老院。根据《中华人民共和国老年人照顾法》，政府应当支持和促进社会力量建设养老机构，并为养老机构提供必要的政策支持和资金支持。此外，政府还可以提供技术支持，比如提供养老机构的建设技术指导，以及提供养老服务的技术指导。此外，政府还可以提供财政补贴，比如提供养老机构的建设补贴，以及提供养老服务的补贴。因此，当地政府会支持办一个小型养老院。