办理中山三乡居住证的步骤如下：

1. 申请人应前往现居住地的社区事务受理服务中心提出居住证申请。

2. 申请人必须确保自己在中山三乡的居住是合法和稳定的。

3. 若申请人在中山三乡合法稳定就业，并参加本市职工社会保险满六个月，或因投靠本地户籍亲属就读、进修等需要在当地居住满六个月以上，也可申请居住证。

4. 申请人需根据申办条件提供相应的证明材料，并对所提供材料的真实性负责。

5. 申请人携带有效身份证件、户口簿、身份证等，到现场即可办理居住证。

持有中山三乡居住证的居民可享受以下便利：

1. 按照国家规定办理出入境证件。

2. 按照国家规定换领、补领居民身份证。

3. 进行机动车登记。

4. 申领机动车驾驶证。

5. 报名参加职业资格考试、申请授予职业资格。

6. 办理生育服务登记和其他计划生育证明材料。

7. 享受国家规定的其他便利。

在办理中山三乡居住证时，需准备相关资料，如身份证、户口本、租房协议等。根据不同情况，如暂住在居民家中，由户主携带户口本到当地公安派出所办理；暂住在企事业单位或工厂的，由单位进行登记；暂住在出租房的，房东需携带租赁合同陪同申请人至当地公安派出所办理。

根据《居住证暂行条例》第二十条规定，有关国家机关及其工作人员在居住证制作、发放过程中有违法违纪行为的，将依法给予处分，构成犯罪的，依法追究刑事责任。