波导中场的数学推导是探讨电磁波在波导中传播的关键。波导作为规则物体，其内部场的解析表达依赖于麦克斯韦方程组。推导过程基于经典分离变量法，旨在简化运算并深入理解物理意义。

首先，将散度为零的矢量场表示为旋度为零的矢量场。此变换简化了后续的数学处理，但需明确每一步的物理内涵，确保推导的正确性和完整性。

对于TE模式（Ez=0），通过麦克斯韦方程组可直接获得电场分布。法拉第电磁感应定律指导我们进一步求解磁场分布。波动方程在无源场中的应用，指导我们通过分离变量法求解二阶偏微分方程，最终得到模式表达式。

波导的边界条件（波导壁上切向场为零）是求解未知数的关键。通过这些条件，我们解出了模式表达式中的系数，明确指出只有特定的m和n值对应的场才能在波导中存在。m代表X轴波震动次数，n代表Y轴波震动次数，这构成了波导中的模式。

根据求解过程，波导中TE模式的场分布表达式得以呈现。不同模式的幅度Amn相互独立，体现了波导中电磁波的多样性和复杂性。

波导中各种模式的截止频率是决定电磁波是否能在波导中传播的重要参数。截止频率与模式的m和n值相关，模式越高，截止频率越大。通过解波动方程，我们可求得特定模式的截止频率表达式。

总结，波导中场的数学推导为理解电磁波在波导中的传播特性提供了理论基础，通过推导过程中的物理意义解析，能够深刻洞察波导模式的形成、特性及其在工程应用中的重要性。